Semestre d'automne

Transformée de Laplace, problèmes de conditions initiales. Séries, intégrales et transformées de Fourier. Séries entières et méthode de Frobenius pour la solution d'équations différentielles linéaires. Équation et fonctions de Bessel.

Semestre d'hiver

Solution d'équations aux dérivées partielles avec des conditions aux limites par la méthode de séparation des variables. Fonctions d'une variable complexe : fonctions analytiques, séries de Taylor et de Laurent, intégrales complexes et théorème des résidus.

Transformée de Laplace, problèmes de conditions initiales. Séries, intégrales et transformées de Fourier. Séries entières et méthode de Frobenius pour la solution d'équations différentielles linéaires. Équation et fonctions de Bessel.

Distributions d'échantillonnage ; estimation des paramètres d'une population - estimation ponctuelle et intervalles de confiance ; tests d'hypothèse pour un ou deux groupes ; valeur de l'ajustement d'un modèle, tableau de contingence, contrôle de qualité et régression linéaire simple ; séries temporelles.

Transformées de Laplace. Application à la résolution de problèmes aux valeurs initiales. Séries et intégrales de Fourier. Solutions d'équations différentielles ordinaires par séries de puissance et par la méthode de Frobenius. Équations et fonctions de Bessel.

Transformées de Laplace et solution d'équations différentielles ordinaires. Séries de Fourier. Équations aux dérivées partielles, méthode de séparation des variables. Résolution des problèmes de conditions aux limites. Théorie de la variable complexe, fonctions analytiques.  Exemples pratiques ayant des domaines d'application en génie mécanique et en génie aéronautique

Groupes, groupes cycliques, sous-groupes et sous-groupes normaux. Homomorphismes,groupes quotients, théorèmes d'isomorphismes et groupes de permutations. Les théorèmes de Sylow et applications à la théorie des groupes.

Distributions, fonction delta de Dirac et convolution. Corrélation et autocorrélation. Systèmes linéaires invariants dans le temps. Signaux discrets et continus. Réponses impulsionnelle et indicielle. Fonction de transfer et réponse fréquentielle. Applications de la transformée de Laplace. Transformée en z et résolution d'équations aux différences finies. Applications de la transformée de Fourier. Taux de Nyquist et formule de reconstruction du signal de Shannon, transformée de Fourier discrète, analyse en ondelettes.

Révision des concepts de permutations et de combinaisons. Introduction à la logique. Propriétés des entiers : induction, récursivité, nombres premiers et entiers modulo n. Énumération : le principe des tiroirs de Dirichlet, le principe de l'inclusion et de l'exclusion, les fonctions génératrices et les relations de récurrence.

Graphes et sous-graphes, arbres, connectivité, chaînes euleriennes et cycles hamiltoniens, couplages, ensembles indépendants, réseaux. Algorithmes pour trouver les arbres maximaux, les plus courts chemins dans un graphe valué, et le flot maximum dans un réseau de communication. Applications à des problèmes tels que ceux du voyageur de commerce, de la composition d'horaires et de l'organisation de tournois.

Probabilité, variables aléatoires et distributions, distributions jointes, fonctions de variables aléatoires, espérances conditionnelles, suites de variables aléatoires, processus stochastiques.

L'optimisation non-linéaire s'adresse aux problèmes visant à optimiser i.e. minimiser ou maximiser une fonction alors qu'il existe des contraintes sous la forme d'égalités ou d'inégalités. L'optimisation non-linéaire a des applications multiples en sciences humaines, en économie ainsi que dans plusieurs domaines d'activités militaires.

Dans ce cours, on présentera les concepts mathématiques principaux, les conditions d'optimalité ainsi que les méthodes numériques qui sont présentement étudiés en optimisation non-linéaire. Une brève introduction de la théorie du contrôle optimal ainsi que de l'optimisation globale sera également présentée.

Les sujets principaux du cours sont les suivants. Analyse convexe. Conditions géométriques d'optimalité. Conditions d'optimalité et dualité. Dualité Lagrangienne et conditions d'optimalité de points de selle. Algorithmes numériques et leurs convergences. Introduction à la théorie du contrôle optimal. Introduction à l'optimisation globale.

Certains systèmes non-linéaires manifestent des comportements inattendus qui requièrent de nouvelles méthodes d'explication. Tels sont les systèmes chaotiques dont l'évolution est très sensible aux petites variations dans les conditions initiales. Chaos dans le ciel ; astéroïdes et comètes et sur terre ; simples fonctions itérées. Fractales ; objets de dimensions fractionnaires. MAPLE sera utilisé pour illustrer les effets étudiés.

Les sujets principaux sont : périodicité, orbites, bifurcations, applications non-linéaires (Hénon), ensemble de Julia, ensemble de Mandelbrot, mouvement du pendule, papillon et étrange attracteur de Lorenz.

L'habileté à comprendre et résoudre les conflits est un atout essentiel pour tout preneur de décision, peu importe son domaine d'influence. Le but de ce cours est de présenter la partie de la théorie des jeux ainsi que ses méthodes applicables à la solution de problèmes du monde dans lequel nous vivons. Le matériel inclue la modélisation et les méthodes de l'analyse de la stabilité, l'analyse des hyperjeux, l'analyse des jeux à deux et n-joueurs, l'analyse de l'équilibre (tel l'équilibre de Nash), ainsi que la modélisation dynamique.

Ce cours est d'une valeur inestimable pour tout futur analyste autant dans le domaine militaire que civil. Il fournit les outils nécessaires à la compréhension de problèmes réels complexes économiques ou géopolitiques, permettant d'en déterminer les causes et de leur choisir une solution raisonnable.

Les sujets principaux sont les suivants. Types de conflits ; analyse conflictuelle simple, conflit de garnison. Hyperjeux ; crise des missiles cubaine, invasion de la Normandie. Metajeux ; description mathématique, analyse, théorème de caractérisation. Méthodes d'analyse conflictuelle ; jeux à deux et N-joueurs, conflit nucléaire. Théorie et implications de l'analyse conflictuelle ; fondements, notions d'équilibres et de solutions, théorie des jeux classique. Techniques de solution des jeux non-coopératifs ; stabilité, existence, classes spéciales de jeux. Modélisation dynamique ; superjeux, conflit nucléaire, matrices de transition.

Sources d'erreur dans les calculs numériques. Algorithmes stables et instables, dangers des calculs numériques. Sujets en analyse numérique, incluant la solution d'équations linéaires et non-linéaires, l'intégration et la dérivation numérique, l'interpolation par polynômes et splines, l'approximation discrète des moindres carrés, la solution numérique des équations différentielles ordinaires.

Analyse d'algorithmes et complexité algorithmique, mesures de complexité et différentes classes de la  complexité, utilisation de relations récurrentes pour l'analyse d'algorithmes récursifs. Stratégies algorithmiques fondamentales : force brute, glouton, diviser pour régner, retour en arrière récursif. Algorithmes d'appariement de formes et des chaînes de caractères. Traversées de graphes et d'arbres, algorithmes du plus court chemin, fermeture transitive, arbre recouvrant de longueur minimum. Réalisation d'arbres et de graphes. Introduction à la calculabilité, machines de Turing, problèmes décidables et indécidables, le problème d'arrêt des programmes.

Introduction à la théorie des automates et au langages formels avec application à la théorie des algorithmes. Automates déterministes finis, langages réguliers, automates à pile, grammaire sans contexte, machines de Turing. Problèmes non-résolubles, classes P et NP, problèmes NP complets.

Concepts de systèmes de bases de données ; organisation des fichiers et structures d'index ; modélisation des données à l'aide du modèle entité-relationnelle ; normalisation ; algèbre relationnelle et calcul relationnel ; SQL, SQL intégré et JDBC ; optimisation des requêtes ; transactions ; sécurité et intégrité des donnée.

Récursivité, types et abstraction. Programmation Objet-Orienté de base : utilisation et définition de classes, et sous-classes ; héritage ; polymorphisme. Introduction à la complexité algorithmique, la notation grand O, et analyse d'algorithmes simples. Structures de données fondamentales (piles, files, tables de hachage,  arbres et graphes) et leur réalisation. Algorithmes fondamentaux tel que le tri rapide et autres algorithmes de tri O(nlog n), hachage et traitement des collisions, recherche binaire et opérations sur les arbres binaires. Introduction aux graphes et aux algorithmes du plus court chemin.

Ce cours débute avec une description des enjeux au niveau de l'interaction homme-machine lors du design de logiciel. Le cours se poursuit avec un éventail de sujets liés au design, à la réalisation et à la vérification du logiciel d'un système informatique avec une expérience pratique en tant que membre d'une équipe de programmeurs. Finalement, les enjeux sociaux de l'informatique ainsi que les responsabilités professionnelles et éthiques du développement de logiciel sont étudiés.

Le cours commence par couvrir certains aspects de l'architecture des ordinateurs conventionnels tels la mémoire et l'organisation fonctionnelle, puis poursuit avec le multitraitement et des architecture alternatives allant au delà du modèle classique de von Neumann. La deuxième portion du cours enseigne les enjeux fondamentaux liés aux interactions homme-machine, la programmation par évènements et le design d'interfaces graphiques (IG) (incluant une expérience pratique de développement d'une IG). La troisième partie du cours concerne l'infographie et la vidéo. Les techniques principales de design de systèmes graphiques sont étudiés en utilisant un API de graphique. Des sujets plus avancés tel la modélisation géométrique et les algorithmes de rendu d'image sont aussi inclus. Le cours couvre finalement le commerce électronique.